إذا كان مجموع 11 حدا من متتابعة حسابية يساوي مربع حدها السادس وكانت حدودها الرابع والسابع والحادي عشر تكون متتابعة هندسية أوجد المتتابعة الحسابية
الإجابة الصحيحة هي :
لنفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية يساوي = أ ، الأساس يساوي = د
إذا :-
ج(11) = 11 /2 [ 2 أ + 10 د ] = ( أ + 5 د )^2
11 ( أ + 5 د ) = ( أ + 5 د )^2
( أ + 5 د )( أ + 5 د - 11 ) = 0
فإما ان يكون :
أ + 5 د = 11
أو يكون :
أ + 5 د = 0
( أ + 6 د )^2 = ( أ + 3 د )( أ + 10 د )
أ^2 + 12 أ د + 36 د^2 = أ^2 + 13 أ د + 30 د^2
6 د^2 - أ د = 0
د ( 6 - أ ) = 0
أ = 6 ، حيث د لاتساوى الصفر فى المتتابعات وتكون : د = 1
للتحقق من الشروط نقوم بـ :
① الشرط الأول:
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × 1 ] = 121
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × 1 ]^2 = 121
② الشرط الثاني:
ح(4) = 6 + 3 ×1 = 9
ح(7) = 6 + 6 ×1 = 12
ح(11) = 6 + 10 × 1 = 16
ح(7) / ح(4) = 12 /9 = 4 /3
ح(11) / ح(7) = 16 /12 = 4 /3
يتحقق الشرطان عند أ = 6 ، د = 1
وتكون المتتابعة الحسابية كالتالي :
6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، ...
أو إذا كانت د = - 6 /5
للتحقق من الشروط :
① الشرط الأول :
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × - 6 /5 ] = 0
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × - 6 /5 ]^2 = 0
② الشرط الثاني :
ح(4) = 6 + 3 × - 6 /5 = 12 /5
ح(7) = 6 + 6 × - 6 /5 = - 6 /5
ح(11) = 6 + 10 × - 6 /5 = - 6
ح(7) / ح(4) = - 1 /2
ح(11) / ح(7) = 5
لا تحقق الشرط الثاني.